Question

如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°．

(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；

(2)应如何设计，才能使折线段线段MNP最长？

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依题意，有(1分)，又，．(2分) 　　，当时，(4分) 　　又(5分) 　　(Ⅱ)解法一在△MNP中∠MNP＝120°，MP＝5，设∠PMN＝，则0°＜＜60° 　　由正弦定理得， 　　(7分) 　　故(10分) 　　0°＜＜60°(11分) 　　当＝30°时，折线段赛道MNP最长，亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长(12分) 　　解法二：在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5， 　　由余弦定理得∠MNP＝即(7分) 　　故，从而，即(10分) 　　当且仅当时，折线段道MNP最长(12分)