Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零常数l，使得对于任意x⊆M（M⊆D）都有f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数，l是一个高调值．
现给出下列命题：
①函数f（x）=(

1

2

)x为R上的高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的高调函数
③若函数f（x）=x²+2x为（-∞，1]上的高调函数，则高调值l的取值范围是（-∞，-4]．
其中正确的命题个数是（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

分析：因为f（x+l）=(

1

2

)x+l，f（x）=(

1

2

)x，要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①对；对于②，当l=π时f（x+l）≥f（x），恒成立；所以②对对于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立

l＜0 l2+4l≥0

解得l≤-4故③对．

解答：解：对于①，f（x+l）=(

1

2

)x+l，f（x）=(

1

2

)x，要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①对；
对于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），当l=π时恒成立；所以函数f（x）=sin2x为R上的高调函数
所以②对
对于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x
令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x
即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立
∴

l＜0 l2+4l≥0

解得l≤-4故③对
故正确的命题个数是3个
故选D

点评：解决新定义题，关键是理解透题中“高调函数”的含义，属于中档题．