Question

1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x，x＞0\\{log_{\frac{1}{2}}}（-x），x＜0\end{array}\right.$，若f（a）-2f（-a）＞0，则实数a的取值范围是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 结合已知的函数解析式和对数函数的图象和性质，分别求出不同情况下实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若a＞0，则-a＜0，
不等式f（a）-2f（-a）＞0可化为：$lo{g}_{2}a-2lo{g}_{\frac{1}{2}}a$=3log₂a＞0，
解得：a∈（1，+∞）；
若a＜0，则-a＞0，
不等式f（a）-2f（-a）＞0可化为：$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-a）-2lo{g}_{2}（-a）$=3$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-a）$＞0，
解得：a∈（-1，0）；
综上所述，a∈（-1，0）∪（1，+∞），
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度中档．