Question

给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1
②函数y=sin(

3

2

π+x)是偶函数
③x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5

4

π)的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
其中正确命题的序号是

②③

．

Answer 1

分析：对于①，利用二倍角的正弦公式变形，可得sinα•cosα的最大值为

1

2

；
对于②，利用诱导公式化简为y=-cosx，该函数是偶函数；
对于③，把x=

π

8

代入y=sin(2x+

5

4

π)，看y能否取得最值，若能取得最值，命题正确，否则，命题不正确；
对于④举反例加以说明．
通过以上分析即可得到正确答案．

解答：解：由sinα•cosα=

1

2

sin2α，∴sinα•cosα的最大值为

1

2

，∴命题①错误；
由y=sin(

3

2

π+x)=-cosx，而y=-cosx是偶函数，∴命题②正确；
∵y=sin(2×

π

8

+

5

4

π)=sin

3

2

π=-1，∴x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5

4

π)的一条对称轴方程，∴命题③正确；
取α=

13

6

π，β=

π

3

，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命题④错误．
所以正确的命题是②③．
故答案为②③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的被角公式、诱导公式及三角函数的性质，考查了举反例法在判断命题真假中的应用，此题是基础题．