Question

20．已知关于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的两根分别为x₁，x₂且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（-$\frac{5}{4}$，1）．

Answer 1

分析 设f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3+2a+b＜0}\\{f（2）=7+3a+b＞0}\\{f（-1）=1+b＞0}\end{array}\right.$，利用简单的线性规划的知识求得目标函数z的范围．

解答 解：设f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3+2a+b＜0}\\{f（2）=7+3a+b＞0}\\{f（-1）=1+b＞0}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{2a+b＜-3}\\{3a+b＞-7}\\{b＞-1}\end{array}\right.$，画出可行域，如图△ABC的内部区域，
则目标函数z=$\frac{b}{a}$表示可行域内的点（a，b），
与原点（0，0）连线的斜率．
求得A（-2，-1）、B（-1，-1）、C（-4，5），
故0≥$\frac{b}{a}$＞K_OC，或0≤$\frac{b}{a}$＜K_OB，
即 0≥$\frac{b}{a}$＞-$\frac{5}{4}$，或0≤$\frac{b}{a}$＜1，
故答案为：（-$\frac{5}{4}$，1）．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，简单的线性规划，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．