Question

垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x³+3x²-1相切的直线方程为________．

Answer 1

-3x-2
分析：设所求的直线方程为y=-3x+m，切点为（n，n³+3n²-1），根据函数在切点处的导数即为切线的斜率，求出n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程．
解答：设所求的直线方程为y=-3x+m，切点为（n，n³+3n²-1），
则由题意可得3n²+6n=-3，∴n=-1，
故切点为（-1，1），代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2，
故设所求的直线方程为y=-3x-2，
故答案为y=-3x-2．
点评：本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于-1，函数在某点的导数的几何意义，求出切点的坐标是解题的关键．