Question

12．已知椭圆C的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与直线y=x+1相交于不同的两点M，N，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，表示出其右焦点的坐标，依题意，可得d=$\frac{|\sqrt{{a}^{2}+1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解可得a²的值，代入可得椭圆的方程；
（2）根据题意，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程并消去y可得x²+3（x+1）²-3=0，分析可得x₁、x₂是该方程的2个根，解方程可得x₁、x₂的值，即可得M、N的坐标，进而可得$\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$的坐标，由数量积公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，椭圆C的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，
其右焦点的坐标为（$\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|\sqrt{{a}^{2}+1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，
解可得，a²=3，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）根据题意，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立直线与椭圆的方程可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
消去y可得x²+3（x+1）²-3=0，x₁、x₂是该方程的2个根，
化简可得4x²+6x=0，
解可得x₁=0，x₂=-$\frac{3}{2}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
M、N在直线y=x+1上，则y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$，
则M（0，1）N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
则$\overrightarrow{AM}$=（0，2），$\overrightarrow{AN}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0×（-$\frac{3}{2}$）+2×$\frac{1}{2}$=1；
即$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的值为1．

点评 本题考查直线与椭圆的方程的应用，对于此类问题，一般要联立直线与椭圆的方程，通过消元转化为一元二次方程分析求解．