Question

（本小题满分12分）

如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点．

(Ⅰ) 求证：CE∥平面PAF；

(Ⅱ) 在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，证出HE∥AD,,

由ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点 推出FC∥AD,，

从而进一步得出CE∥平面PAF；

（2）线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点

【解析】

试题分析：证明（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，

因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD,,

因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点   所以FC∥AD,

所以HE∥FC, 四边形FCEH是平行四边形    所以EC∥HF

又因为 

所以CE∥平面PAF        ……………4分

（2）因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD      又由平面PAD⊥平面ABCD可得

CA⊥平面PAD     所以CA⊥PA    

由PA=AD=1，PD=可知，PA⊥AD…………5分                   

所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz

因为PA=BC=1，AB=所以AC=1         所以

假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，

设点G的坐标为（1，a，0），    所以

设平面PAG的法向量为

则令 所以

又

设平面PCG的法向量为

则令所以       ……………9分

因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，所以

所以又所以                      ……………11分

所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点……12分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。本题利用向量简化了证明过程。把证明问题转化成向量的坐标运算，这种方法带有方向性。