Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

Answer 1

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。 根据题设，有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，

得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ①

于是 y=k/ab=k/((30a-a2)/(2+a))

=k/(-a+32-64/(a+2))

=k/(34-(a+2+64/(a+2))

当a+2=64/(a+2)时取等号，y达最小值。

这时a=6,a=-10（舍去）。 将a=6代入①式

得b=3。 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解法二：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。

由题设知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)，

即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2，

∴2+ab≤30， 当且仅当a=2b时，上式取等号。 由a>0，b>0，解得0<ab≤18。

即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。

∴2b₂=18。解得b=3，a=6。 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 ……12分