Question

（2009•东营一模）已知向量：

a

=（2sinωx，cos²ωx），向量

b

=（cosωx，2

3

），其中ω＞0，函数f（x）=

a

•

b

，若f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意实数x∈[

π

6

，

π

3

]，恒有|f（x）-m|＜2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的数量积以及二倍角公式两角和的正弦函数化简函数表达式，求出函数的周期，即可求f（x）的解析式；
（2）通过x∈[

π

6

，

π

3

]，求出相位的范围，确定函数的值域，然后利用|f（x）-m|＜2，得到m的关系式，求实数m的取值范围

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=(2sinωx，cos2ωx)•(cosωx，2

3

)=sin2ωx+

3

(1+cos2ωx)
=2sin(2ωx+

π

3

)+

3

∵相邻两对称轴的距离为π，∴

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

∴f(x)=2sin(x+

π

3

)+

3

（2）∵x∈[

π

6

，

π

3

]，∴x+

π

3

∈[

π

2

，

2π

3

]
∴2

3

≤f(x)≤2+

3

，
又∵|f（x）-m|＜2，∴-2+m＜f（x）＜2+m
若对任意x∈[

π

6

，

π

3

]，恒有|f(x)-m|＜2成立，则有

-2+m≤2 3 2+m≥2+ 3

解得

3

≤m≤4+2

3

．

点评：本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数二倍角公式的应用，函数恒成立问题的应用，考查转化思想与计算能力．