Question

9．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB．
（1）求B；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c．

Answer 1

分析 （1）根据条件及正弦定理便可得到$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}=\frac{b}{sinB}$，从而可以得到$tanB=\sqrt{3}$，从而得出B=$\frac{π}{3}$；
（2）先由正弦定理得到c=2a，然后由余弦定理便可得到$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-9}{4{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，解出a，从而便可得出c．

解答 解：（1）∵$bsinA=\sqrt{3}acosB$；
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\sqrt{3}cosB}=\frac{b}{sinB}$；
∴$sinB=\sqrt{3}cosB$；
∴$tanB=\sqrt{3}$；
∵0＜B＜π；
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）sinC=2sinA，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=2r$；
∴c=2a；
$b=3，B=\frac{π}{3}$；
∴由余弦定理得：$cos\frac{π}{3}=\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-9}{4{a}^{2}}=\frac{1}{2}$；
解得$a=\sqrt{3}$，∴$c=2\sqrt{3}$．

点评 考查已知三角函数值求角，清楚三角形内角的范围，以及正弦定理、余弦定理．