(18)如图,在多面体ABCD—A1B1C1D1中,上、下底面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于E,F两点,上、下底面矩形的长、宽分别为c,d与a,b,
且a>c,b>d,两底面间的距离为h.
(Ⅰ)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小;
(Ⅱ)证明:EF∥面ABCD;
(Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式
V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是
V=(S上底面+4S中截面+S下底面),试判
断V估与V的大小关系,并加以证明.
(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.)
(18)本小题主要考查直线、平面的位置关系,考查不等式的基本知识,
考查空间想象能力和逻辑能力.
(Ⅰ)解:过B1C1作底面ABCD的垂直平面,交底面于PQ,过B1作B1G⊥PQ,垂足为G.
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,∠A1B1C1=90°,
∴AB⊥PQ,AB⊥B1P.
∴∠B1PG为所求二面角的平面角.
过C1作C1H⊥PQ,垂足为H.
由于相对侧面与底面所成二面角大小相等,故四边形B1PQC1为等腰梯形.
∴PG=(b-d),
又B1G=h,
∴tanB1PG=(b>d),
∴∠B1PG=arctan,
即所求二面角的大小为为arcot.
(Ⅱ)证明:∵AB、CD是矩形ABCD的一组对边,有AB∥CD,
又CD是面ABCD与面CDEF的交线,
∴AB∥面CDEF.
∵EF是面ABFE与面CDEF的交线,
∴AB∥EF.
∵AB是平面ABCD内的一条直线,EF在平面ABCD外,
∴EF∥面ABC(D)
(Ⅲ)V估<V
证明:∵a>c,b>d
∴V-V估=(cd+ab+4·
·
)-
·
h
=[2cd+2ab+2(a+c)(b+d)-3(a+c)(b+d)]
=(a-c)(b-d)>0
∴V估<V.
科目:高中数学 来源: 题型:
(1)求直线AC与平面PAB所成角的大小;
(2)在射线CP上确定一点Q,求CQ为多少时,能使二面角D-AQ-B的度数为θ,且cosθ=.
第18题图
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