Question

18．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆x²+（y+2）²=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，设抛物线方程为x²=2py，由该点到焦点的距离为2可得$\frac{2}{p}+\frac{p}{2}=2$，从而求p，可得抛物线的标准方程；
（2）由题意可得k²=t+$\frac{{t}^{2}}{4}$，由直线方程与抛物线联立可得△=16（k²+t）＞0，从而求t的取值范围，进而由韦达定理可得$λ=1+\frac{t}{{2{k^2}}}=1+\frac{2}{t+4}$，从而求λ的取值范围．

解答 解：（1）x²=2py，$x=2时，y=\frac{2}{p}$，$\frac{2}{p}+\frac{p}{2}=2$，p=2，∴x²=4y…（4分）
（2）$\frac{|2+t|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2∴4{k^2}=4t+{t^2}$，∴k²=t+$\frac{{t}^{2}}{4}$①
$\left\{\begin{array}{l}y=kx+t\\{x^2}=4y\end{array}\right.∴{x^2}-4kx-4t=0$，
△=16（k²+t）＞0②
由①②可知，t∈（-∞，-8）∪（0，+∞）…（6分）
设C（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，∴${y_1}+{y_2}=4{k^2}+2t$．
∴$\left\{\begin{array}{l}x=λ（{{x_1}+{x_2}}）=4kλ\\ y=λ（{{y_1}+{y_2}}）=λ（{4{k^2}+2t}）\end{array}\right.$，代入x²=4y得16k²λ²=4λ（4k²+2t）．
∴$λ=1+\frac{t}{{2{k^2}}}=1+\frac{2}{t+4}$-------------（9分）
∵t＞0或t＜-8，∴$-\frac{1}{4}＜\frac{1}{t+4}＜0$或$0＜\frac{1}{t+4}＜\frac{1}{4}$
∴$λ∈（{\frac{1}{2}，1}）∪（{1，\frac{3}{2}}）$---------------------------（12分）

点评 本题考查了圆锥曲线的方程的求法及圆锥曲线与直线的运算，属于中档题．