Question

已知直线l过点P（1，0），且l与曲线y=x³和都相切，求a的值．

Answer 1

解：当l与y=x³，相切时，设切点坐标为（x₀，x₀³），则l的方程可表示为y-x₀³=3x₀²（x-x₀）
∵P在上，
∴3x₀²（1-x₀）=-x₀³
解得x₀=0与x₀=即l的方程为y=0与y=x-
当l的方程为y=0时，由2ax+=0得x=-
∴y=a（-）2+（--9）=0
解得a=-
当的方程为y=x-时，由2ax+=
得x=
∴切点坐标为（，）代入y=得x-
得a=-1
故所求a的值为a=-与a=-1．
分析：当l与y=x³，相切时，设切点坐标为（x₀，x₀³），利用导数几何意义得出l的方程，结合P在上，解得x₀和l的方程．下面就直线l的方程的两种情形分别求出a值即可．
点评：本小题主要考查直线方程的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．