Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣2）=﹣f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2+x+sinx，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣4，4]上有四个不同的根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 则x1+x2+x3+x4的值为（ ）
A.2
B.﹣2
C.4
D.﹣4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x﹣2）=﹣f（x），

∴f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），

即函数的周期是4，

且f（x﹣2）=﹣f（x）=f（﹣x），

则函数的对称轴为：x=﹣1，f（x）是奇函数，

所以x=1也是对称轴，x∈[0，1]时，f（x）=x2+x+sinx，

函数是增函数，

作出函数f（x）的简图，

若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣4，4]上

有四个不同的根x1，x2，x3，x4，

则四个根分别关于x=1和x=3对称，

不妨设x1＜x2＜x3＜x4，

则x1+x2=﹣6，x3+x4=2，

则x1+x2+x3+x4=﹣6+2=﹣4，

所以答案是：D．