Question

【题目】选修4﹣5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x﹣4|+|x+2|
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f（x）=|2x﹣4|+|x+2|=

可得当x＜﹣2时，﹣3x+2＞8，当﹣2≤x＜2时，4＜6﹣x≤8，

当x≥2时，3x﹣2≥4，

所以函数的最小值为f（2）=4．

（2）解：若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，则|a+4|﹣|a﹣3|≤f（x）min=4，

又解不等式|a+4|﹣|a﹣3|≤4可解得a≤ ．所以a的取值范围为a≤

【解析】（1）去绝对值可得f（x）= ，分段求最值可得；（2）问题等价于|a+4|﹣|a﹣3|≤f（x）min=4，解之可得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．