Question

7．设f（x）为[-1，1]上的奇函数且为增函数，求y=$\sqrt{f（{x}^{2}-3）+f（x+1）}$的值域．

Answer 1

分析 先求函数函数的定义域，进而求出-1≤x²-3≤1，$-1≤x+1≤1-\sqrt{2}$，从而可求

解答 解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且为增函数
∴由$\left\{\begin{array}{l}{-1≤{x}^{2}-3≤1}\\{-1≤x+1≤1}\end{array}\right.$
解可得，$-2≤x≤-\sqrt{2}$，即函数的定义域为[-2，-$\sqrt{2}$]．
此时有-1≤x²-3≤1，$-1≤x+1≤1-\sqrt{2}$
由函数f（x）在[-1，1]上是增函数可得，f（-1）≤f（x²-3）≤f（1），f（-1）≤f（x+1）≤f（1）
两不等式相加可得，$2f（-1）≤f（{x}^{2}-3）+f（x+1）≤f（1）+f（1-\sqrt{2}）$
∵y≥0
∴$0≤y≤\sqrt{f（1）+f（1-\sqrt{2}）}$
故函数的值域是[0，$\sqrt{f（1）+f（1-\sqrt{2}）}$]

点评 本题主要考查了函数的单调性在求解函数的值域中的简单应用，解题中要注意函数的定义域 的应用．