Question

已知函数（其中a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为，求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：由，可得．…．（2分）
（Ⅰ）因为函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为，得：…．（4分）
解得 …．（5分）
（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x²+2x-a＞0…①…．（6分）
当△=4+4a≤0，即a≤-1时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，+∞）．…．（8分）
当△=4+4a＞0，即a＞-1时，不等式①的解为或，
…．（10分）
又因为x≠-1，所以此时函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为和．
．…．（12分）
所以，当a≤-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（-1，+∞）；
当a＞-1时，函数f（x）的单调递增区间为和，
单调递减区间为和..…．（13分）
分析：（I）欲求实数a、b的值，利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性，是一道中档题．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．