Question

如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F是AB上一点，且AF=

1

3

AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=

2

．
（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证：AD∥平面CEF；
（3）求三棱锥A-CFD的体积．

Answer 1

分析：（1）可先证明AD与两相交直线CE，BD垂直，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直
（2）在图形中取BD中点E，连接EF，可得出EF∥AD，再由线面平行的判定定理即可证明AD∥平面CEF；
（3）由题设条件知CE即是此棱锥的高，故求出底面三角形AFD的面积即可，此需要先求出F到AD的距离，易求．

解答：（1）证明：依题意：AD⊥BD
∵CE⊥平面ABD∴CE⊥AD
∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．
（2）证明：Rt△BCE中，CE=

2

，BC=

6

∴BE=2（5分）Rt△ABD中，AB=2

3

，AD=

3

∴BD=3．（6分）
∴

BF

BA

=

BE

BD

=

2

3

．
∴AD∥EF∵AD在平面CEF外
∴AD∥平面CEF．
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD-BE=1
∴F到AD的距离等于E到AD的距离，为1．
∴S△FAD=

1

2

•

3

•1=

3

2

．
∵CE⊥平面ABD
∴VA-CFD=VC-AFD=

1

3

•S△FAD•CE=

1

3

•

3

2

•

2

=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，求棱锥的体积，求解本题的关键是创造出线面垂直、线面平行的条件，熟知相关的定理是求解这一类题的保证．代数多做题，几何背定理，道出了学习几何的方法．