Question

已知

OA

=（1，7），

OB

=（3，1），D为线段AB的中点，设M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），求

MA

•

MB

的取值范围．

Answer 1

分析：由题意求得 

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）=（2，4），可设

OM

=λ

OD

=（2λ，4λ），化简

MA

•

MB

=（

OA

-

OM

）
•（

OB

-

OM

）为 10（2λ²-4λ+1），再由二次函数的性质求得函数

MA

•

MB

取值范围．

解答：解：∵已知

OA

=（1，7），

OB

=（3，1），D为线段AB的中点，∴

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）=（2，4）．
由于M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），可设

OM

=λ

OD

=（2λ，4λ），且0≤λ≤1，
故

MA

•

MB

=（

OA

-

OM

）•（

OB

-

OM

）=（1-2λ，7-4λ）•（3-2λ，1-4λ）=（1-2λ）（3-2λ）
+（7-4λ）（1-4λ）=10（2λ²-4λ+1），
由二次函数的性质可得，当λ=1时，函数

MA

•

MB

取得最小值为-10，而且函数无最大值，
故

MA

•

MB

的取值范围为[10，+∞）．

点评：本题考查另个平面向量的数量积的运算，两个向量共线的性质，二次函数的最值等知识，是基础题．