Question

15．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设∠AOB=α．问：当α取何值时，四边形OACB面积最大？

Answer 1

分析 本题考查的知识是余弦定理，及正弦型函数的性质，由于∠AOB的大小不确定，故我们可以设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．

解答 解：∵∠AOB=α．
则△ABC的面积=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•AB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（OB²+OA²-2•OB•OA•cosα）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosα）
△OAB的面积=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinα=$\frac{1}{2}$•2•1•sinα=sinα，
四边形OACB的面积=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+sinα-$\sqrt{3}$cosα=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（α-60°）
∴当α-60°=90°，
即α=150°时，四边形OACB的面积最大，
其最大面积为 $\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2

点评 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|．