Question

（2012•济南三模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和直线L：

x

a

-

y

b

=1，椭圆的离心率e=

6

3

，直线L与坐标原点的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直线L：

x

a

-

y

b

=1与坐标原点的距离为

3

2

，椭圆的离心率e=

6

3

，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．

解答：解：（1）∵直线L：

x

a

-

y

b

=1与坐标原点的距离为

3

2

，∴

3

2

=

|ab|

a2+b2

．①…（2分）
∵椭圆的离心率e=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．②…（4分）
由①得4a²b²=3a²+3b²，即4a²（a²-c²）=3a²+3（a²-c²）③
由②③得a²=3，c²=2
∴b²=a²-c²=1
∴所求椭圆的方程是

x2

3

+y²=1…（6分）
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

-12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

…（10分）
∵

EC

=(x1+1，y1)，

ED

=(x2+1，y2)，且以CD为圆心的圆过点E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×

9

1+3k2

+（2k+1）×

-12k

1+3k2

+5=0，解得k=

7

6

＞1，
∴当k=

7

6

时以CD为直径的圆过定点E…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．