Question

已知函数f(x)=4

x

3

-3

x

2

cosθ+

1

32

，其中x∈R．
（Ⅰ）当θ=

π

2

时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）若θ∈(

π

3

，

π

2

]时，f（x）总是区间（2a-1，a）上的增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
（Ⅱ）先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调区间，函数f（x）在区间（-∞，0）与 （

cosθ

2

，+∞）内都是增函数，只需（2a-1，a）是区间（-∞，0）与 （

cosθ

2

，+∞）的子集即可．

解答：解：（Ⅰ）当θ=

π

2

时，cosθ=0，f（x）=4x³+

1

32

，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值．
（II）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=

cosθ

2

．
①当θ=

π

2

时，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
故只要2a-1＜a即a＜1时，f（x）总是区间（2a-1，a）上的增函数，
②当

π

3

＜θ＜

π

2

时，

cosθ

2

＞0．
则函数f（x）在区间（-∞，0）与 （

cosθ

2

，+∞）内都是增函数．
由函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则参数a须满足不等式组

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ cosθ 2

 
由于

π

3

＜θ＜

π

2

，故cosθ∈（0，

1

2

）
故要使不等式 2a-1≥

1

2

cosθ关于参数θ恒成立，必有 2a-1≥

1

4

，解得a≥

5

8

则a≤0或

5

8

≤a＜1
综上①②可得，实数a的取值范围是a≤0或

5

8

≤a＜1．

点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．