Question

已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影，求证：H不可能是△SBC的垂心．

Answer 1

分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．先假设H是△SBC的垂心，连接BH，并延长交SC于D点，然后再根据已知中四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，H是点A在面SBC上的射影，得到△ABC是Rt△，然后根据结论与已知中△ABC是锐角三角形相矛盾，得到假设不成立．

解答：证明：假设H是△SBC的垂心，连接BH，并延长交SC于D点，则BH⊥SC
∵AH⊥平面SBC，
∴BH是AB在平面SBC内的射影
∴SC⊥AB（三垂线定理）
又∵SA⊥底面ABC，AC是SC在面内的射影
∴AB⊥AC（三垂线定理的逆定理）
∴△ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立．
故H不可能是△SBC的垂心．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，三角形五心及反证法，当一个问题不易直接证明时，常使用反证法．