Question

【题目】已知数列{an}的前n项和 ，数列{bn}的前n项和为Bn ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{cn}的前n项和Cn；
（3）证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n≥2时， ， ，

两式相减：an=An﹣An﹣1=2n﹣1；

当n=1时，a1=A1=1，也适合an=2n﹣1，

故数列{an}的通项公式为an=2n﹣1

（2）解：由题意知： ，Cn=c1+c2+…+cn，

， ，

两式相减可得： ，

即 ， ，

（3）解： ，显然 ，

即bn＞2，Bn=b1+b2+…+bn＞2n

另一方面， ，

即 ， ， ， ，

即：2n＜Bn＜2n+2

【解析】（1）当n≥2时，利用an=An﹣An﹣1可得an=2n﹣1，再验证n=1的情况，即可求得数列{an}的通项公式；（2）由题意知： ，利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Cn；（3）利用基本不等式可得 ＞ ，可得Bn=b1+b2+…+bn＞2n；再由bn= ，累加可 ， 于是可证明： ．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．