【题目】函数,其图象与轴交于, 两点,且.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)证明: (为的导函数).
(Ⅲ)设点在函数图象上,且为等腰直角三角形,记,求的值.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)根据题意图象与轴交于, 两点,由零点的定义可得:函数的图象要与x轴有两个交点,而此函数的特征不难发现要对它进行求导,运用导数与函数的关系进行求函数的性质,即: ,a的正负就决定着导数的取值情况,故要对a进行分类讨论:分和两种情况,其中显然不成立, 时转化为函数的最小值小于零,即可求出a的范围; (2)由图象与轴交于, 两点,结合零点的定义可得: 整理可得: ,观察其结构特征,可想到整体思想,即: ,目标为: ,运用整体代入化简可得: ,转化为对函数进行研究,运用导数知识不难得到,即: ,故而是单调增函数,由不等式知: ,问题可得证; (3)由题意有,化简得,而在等腰三角形ABC中,显然只有C= 90°,这样可得,即,结合直角三角形斜边的中线性质,可知,所以,即,运用代数式知识处理可得: ,而,所以,即,所求得
试题解析:(1).
若,则,则函数是单调增函数,这与题设矛盾.
所以,令,则.
当时, , 是单调减函数; 时, , 是单调增函数;
于是当时, 取得极小值.
因为函数的图象与轴交于两点, (x1<x2),
所以,即
此时,存在;
存在 ,
又由在及上的单调性及曲线在R上不间断,可知为所求取值范围.
(2)因为两式相减得
记,则,
设,则,所以是单调减函数,
则有,而,所以.
又是单调增函数,且
所以.
(3)依题意有,则.
于是,在等腰三角形ABC中,显然C= 90°, 13分
所以,即,
由直角三角形斜边的中线性质,可知,
所以,即,
所以,
即.
因为,则,
又,所以,
即,所以
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【题目】中山某学校的场室统一使用“欧普照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命(单位:月)服从正态分布,且使用寿命不少于个月的概率为,使用寿命不少于个月的概率为.
(1)求这种灯管的平均使用寿命;
(2)假设一间课室一次性换上支这种新灯管,使用个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下(中途不更换),求至少两支灯管需要更换的概率.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,两神坐标系中的长度单位相同.已知曲线的极坐标方程为, .
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点,使它到直线: (为参数)的距离最短,写出点的直角坐标.
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【题目】已知圆与轴负半轴相交于点,与轴正半轴相交于点.
(1)若过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)若在以为圆心半径为的圆上存在点,使得 (为坐标原点),求的取值范围;
(3)设是圆上的两个动点,点关于原点的对称点为,点关于轴的对称点为,如果直线与轴分别交于和,问是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】某景点拟建一个扇环形状的花坛(如图所示),按设计要求扇环的周长为36米,其中大圆弧所在圆的半径为14米,设小圆弧所在圆的半径为米,圆心角为(弧度).
⑴ 求关于的函数关系式;
⑵ 已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为16元/米,设花坛的面积与装饰总费用之比为,求关于的函数关系式,并求出的最大值.
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【题目】已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于两点,且.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦和,且,判断直线是否过定点?并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,使得,再过作直线,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
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