Question

已知圆C：x²+y²+2x+Ey+F=0（E、F∈R），有以下命题：
①E=-4，F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件；
②若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），则0≤F≤1；
③若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），O为坐标原点，则|

OA

-

OB

|的最大值为2；
④若E=2F，则曲线C表示圆，且该圆面积的最大值为

3π

2

．
其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：对于①把E和F代入整理后，判断是否表示一个圆，反之利用表示圆的条件即D²+E²-4F＞0进行验证；对于②③把y=0代入方程化简为一个关于x的二次方程，根据△的符号和韦达定理，进行求解；对于④用F表示出圆的半径平方，利用配方法化简解析式，求出最值进行判断．

解答：解：①、圆C：x²+y²+2x+Ey+F=0（E、F∈R）中，应有 4+E²-4F＞0，当E=-4，F=4时，
满足 4+E²-4F＞0，曲线C表示圆，但曲线C表示圆时，E不一定等于-4，F不一定等于4，故①正确．
②、若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），
则 x₁、x₂  是x² +2x+F=0的两根，△=4-4F＞0，解得F＜0，故 ②不正确．
③、若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），
∴|

OA

-

OB

|=|

BA

|，
故当A点坐标 为（-2，0）点，B点坐标为（0，0）
此时|

OA

-

OB

|取最大值2，故③正确；
④、由于E=2F，则圆的半径的平方为

1

4

（4+E²-4F）=

1

4

（4+4F²-4F）=（F-1）²+

3

4

，
则圆面积由最小值，无最大值，故④不对．
故答案为：①③．

点评：本题考查了二元二次方程表示圆的条件，直线与圆相交时利用判别式的符号以及韦达定理，还有利用配方法求出圆的半径的最值，考查知识多，难度大．