Question

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=-4于两点Q、R，求证为定值．

Answer 1

解：（Ⅰ） 观察知，x=2是圆的一条切线，切点为A₁（2，0），
设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A₁A₂，
∴，
∴直线A₁A₂的方程为．
直线A₁A₂与y轴相交于（0，1），依题意a=2，b=1，
所求椭圆的方程为．
（Ⅱ）椭圆方程为，设P（x₀，y₀），A（-1，t），B（-1，-t），
则有，，
在直线AP的方程中，令x=-4，整理得．①
同理，．②
①×②，并将，代入得y_Q•y_R=
===-3．
而=13为定值．
分析：（Ⅰ）利用圆的切线的性质即可求出椭圆的右顶点和上顶点，进而即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设出点P的坐标，代入椭圆的方程即可得到关系式，点A，B的坐标易求出，写出直线AP，BP的方程，即可得到点Q，R的纵坐标，再利用向量的数量积即可证明．
点评：熟练掌握圆的切线的性质、椭圆的标准方程及其性质、直线的点斜式、数量积的定义是解题的关键．注意体会设而不求的作用．