Question

已知数列中，，，.

（1）求证：是等差数列；并求数列的通项公式；

（2）假设对于任意的正整数、，都有，则称该数列为“域收敛数列”. 试判断: 数列，是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理由.

Answer 1

（1）证明略  （2）是

解析:

（1）证明：因为，

所以，；故是等差数列.

由此可得，，

所以，.

（2）解：由条件，可知

当，；当时，，.

令，则

                            

所以，当时，；

同理可得，当时，；

即数列在时递增；时，递减；即是数列的最大项.

然而，因为的奇数项均为，故为数列的最小项；

而，，所以，

故是数列的最大项.

因此，对任意的正整数、，

所以数列，是一个“域收敛数列”.