Question

【题目】椭圆上动点到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点为椭圆的上顶点，若直线与椭圆交于两点（不是上下顶点）．试问：直线是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)先根据已知得到a,c的值，再求b的值，即得椭圆的方程.(2) 设直线（k必存在），，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理化简得到，再求出直线l所经过的定点.(3)先求出，再换元利用基本不等式求面积的最大值.

（1）由已知得：2a=4∴a=2，，，b=1，∴方程为：.

（2）依题意可设直线（k必存在），，将代入椭圆方程得．，∵

∴

∴ ，

∵点B为椭圆的上顶点，且，

∴，

，或（舍去），∴直线l必过定点

（3）不难得到：，

，

令，则，

∴（当，即时取等号）.