Question

（2012•顺义区一模）已知向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，-1)，（x∈R），设函数f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，若f(A)=

1

3

，BC=2

3

，AC=3，求边长AB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ利用向量的数量积公式，结合二倍角公式化简函数，即可求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）利用余弦定理，建立方程，即可求c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(cos

x

2

，-1)，（x∈R）
∴f(x)=

m

•

n

=2cos2

x

2

-1=cosx，（4分）
∵x∈R，∴f（x）=cosx的值域为[-1，1]．（6分）
（Ⅱ） f(A)=cosA=

1

3

，
由余弦定理BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cosA（8分）
∴12=9+c2-2×3×c×

1

3

，
即c²-2c-3=0（10分）
∴AB=c=3．（13分）

点评：本题考查向量的数量积公式，考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．