Question

已知函数f（x）=-

1

3

ax³+x²+2（a≠0）．
（Ⅰ） 试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 若a＞0，求函数f（x）在[1，2]上的最大值．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知f（x）的解析式，利用导数研究其单调性，对a进行讨论，从而进行求解；
（Ⅱ）已知a＞0，要求函数f（x）在[1，2]上的最大值，对

2

a

与1的大小进行讨论，根据（Ⅰ）的单调区间进行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-

1

3

ax³+x²+2（a≠0），
∴f′（x）=-ax²+2x．
①当a＞0时，令f′（x）＞0，即-ax²+2x＞0，得0＜x＜

2

a

．
∴f（x）在（-∞，0），（

2

a

，+∞）上是减函数，在（0，

2

a

）上是增函数．
②当a＜0时，令f′（x）＞0，即-ax²+2x＞0，得x＞0，或x＜

2

a

．
∴f（x）在（-∞，

2

a

），（0，+∞）上是增函数，在（

2

a

，0）上是减函数．
（2）由（Ⅱ）得：
①当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，f（x）在（1，2）上是减函数，
∴f（x）_max=f（1）=3-

1

3

a
②当1≤

2

a

≤2，即1≤a≤2时，f（x）在（1，

2

a

）上是增函数，在（

2

a

，2）上是减函数，
∴f（x）_max=f（

2

a

）=2+

4

3a2

．
③当

2

a

＞2时，即0＜a＜1时，f（x）在（1，2）上是增函数，
∴f（x）_max=f（2）=6-

8a

3

．
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）的最大值为3-

1

3

a，
当1≤a≤2时，f（x）的最大值为2+

4

3a2

，
当a＞2时，f（x）的最大值为6-

8a

3

．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在区间（a，b）上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值，此题还利用了分类讨论的思想，难度中等；