Question

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{\frac{a}{2}，\frac{c}{2}}），\overrightarrow n=（{cosC，cosA}）$，且$\overrightarrow n•\overrightarrow m=bcosB$则B的值是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据余弦定理，可用a，b，c表示cosC，cosA，从而可求出$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=\frac{b}{2}$，这样带入$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=bcosB$即可求出cosB的值，进而得出B的值．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理，
$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}，cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$；
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4b}+\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4b}$=$\frac{2{b}^{2}}{4b}=\frac{b}{2}$；
又$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=bcosB$；
∴$\frac{b}{2}=bcosB$；
∴$cosB=\frac{1}{2}$；
∴$B=\frac{π}{3}$．
故选B．

点评 考查余弦定理，向量数量积的坐标运算，以及已知三角函数值求角．