Question

7．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，且|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，则向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，由平行四边形法则结合图象可得．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，且|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
∴|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=7，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=7，
∴4×1+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+3=7，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
设向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ
结合平行四边形法则可得tanθ=$\sqrt{3}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$
故答案为：$\frac{π}{3}$

点评 本题考查数量积和向量的夹角，数形结合是解决问题的关键，属基础题．