Question

已知矩阵A=

a 0

1 b

把点（1，1）变换成点（2，2）
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据矩阵A=

a 0

1 b

把点（1，1）变换成点（2，2），求a，b的值；
（Ⅱ）在单位圆上设点P（x，y），P被A变换后变成曲线C上的点Q（x'，y'），利用矩阵变换的公式列方程组，并将x、y表示成x'、y'的式子，将此关系式作为点P坐标，代入单位圆方程，化简整理即得变换后的曲线C方程．

解答：解：（I）由

a 0

1 b

1 1

=

2 2

，得

a+1=2 b=2

，
∴a=1，b=2
（Ⅱ）点P（x，y）是圆x²+y²=1上的任意一点，变换后的点为Q（x'，y'），则

1 1 0 2

x y

=

x′ y′

，可得

x=x′- y′ 2 y= y′ 2

代入单位圆方程，得
（x'-

1

2

y'）²+（

1

2

y'）²=1，化简整理得：（x'）²+

1

2

（y'）²-x'y'-1=0
∴A将圆x²+y²=1变换后的曲线C方程为：x²+

1

2

y²-xy-1=0．

点评：本题着重考查了矩阵的乘法法则和矩阵变换的含义等知识，属于基础题．