Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点．
（I）证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）若BB₁=BC=2，求三棱锥A-A₁BC的体积的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用线面平行的判定定理证明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）利用锥体的体积公式求体积．

解答：解：（I）证明：连结EO，OA．
∵E，O分别为B₁C，BC的中点，
∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB₁．
∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA，DE?平面ABC．
∴DE∥平面ABC．．
（II）解：设AB=x，AC=y，
则三棱锥A-A₁BC的体积V=VA1-ABC=

1

3

•2•

1

2

AB•AC=

1

3

xy．
又由题，x²+y²=4≥2xy，得xy≤2，且等号当x=y=

2

时成立；
所以三棱锥A-A₁BC的体积的最大值为

2

3

．

点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及锥体的体积公式．