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    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    		2
    2
    ，在椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称．
    （Ⅰ）现给出下列三个条件：①直线AB恰好经过椭圆E的一个焦点；②椭圆E的右焦点F到直线l的距离为2
    		2
    ；③椭圆E的左、右焦点到直线l的距离之比为
    1
    2
    ．
    试从中选择一个条件以确定椭圆E，并求出它的方程；（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）
    （Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，求b的值．
    分析：（Ⅰ）选择条件②运算量小一些，由椭圆E的右焦点F到直线l的距离为2
    		2
    ，利用点到直线的距离公式即可得c的值，再由离心率e=
    		2
    2
    ，即可求得a值，最后由椭圆a2=b2+c2，求的b值即可得椭圆方程
    （Ⅱ）先由离心率e=
    		2
    2
    ，得a2=2b2，将椭圆方程化为
    x2
    2b2
    +
    y2
    b2
    =1    ，再由椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，知AB的中点（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ）在直线：y=x+1上，联立直线AB和椭圆方程，利用韦达定理列方程可得m的值，最后利用以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S（0，b），，即AS⊥BS，即
    AS
    •
    BS
    =0，利用韦达定理列方程即可得b的值
    解答：解：（Ⅰ）选择条件②，∵椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    		2
    2
    ，
    ∴
    c
    a
    =
    		2
    2
    ，椭圆的右焦点坐标为（c，0）
    ∵右焦点F到直线l的距离为2
    		2
    ，
    ∴
    |c+1|
    		2
    =2
    		2
    ，
    ∴c=3，a=3
    		2

    ∵a2=b2+c2，
    ∴b2=9
    ∴椭圆E的方程为
    x2
    18
    +
    y2
    9
    =1
    （Ⅱ）∵离心率e=
    		2
    2

    ∴a2=2b2
    ∵A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
    ∴直线AB的斜率为-1，设直线AB的方程为y=-x+m，代入椭圆方程
    x2
    2b2
    +
    y2
    b2
    =1    得：（3b2）x2-4mb2x+2b2m2-2b4=0
    ∴△＞0时，x1+x2=
    4m
    3
    ，x1x2=
    2 (m2-b2)
    3

    依题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），
    ∵椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
    ∴AB的中点（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ）在直线：y=x+1上
    ∵
    x1+x2
    2
    =
    2m
    3
    ，
    y1+y2
    2
    =
    -(x1+x2)+2m
    2
    =
    m
    3
    ，
    ∴m=-3
    ∵椭圆E的上顶点S（0，b），以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，即AS⊥BS，即
    AS
    •
    BS
    =0，即（-x1，b-y1）•（-x2，b-y2）=0
    ∴x1x2+（b-y1）（b-y2）=x1x2+y1y2-b（y1+y2）+b2=2x1x2+（b+3）（x1+x2）+9+6b+b2=0
    ∴
    4(9-b2)
    3
    -4（b+3））+9+6b+b2=0，解得b=9，b=-3（舍去）
    ∴b=9
    点评：本题考察了椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，解题时要认真体会韦达定理在解决直线与圆锥曲线问题中的重要应用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
    		2
    ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
    		2
    ．
    （1）求椭圆E与双曲线G的方程；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
    （3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
    （1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
    （2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
    		2
    -1），求此时的椭圆方程；
    （3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
    		2
    2
    ，-
    		3
    3
    ）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    3
    =1    （a＞
    		3
    ）的离心率e=
    1
    2
    ．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
     （1）求椭圆E的方程；
     （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•佛山二模）已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个交点为F1(-
    		3
    ，0)    ，而且过点H(
    		3
    ，
    1
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +y2=1    （a＞1）的离心率e=
    		3
    2
    ，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
    （Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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