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(2012•江苏一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1
(1)若过点C1(-1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为
65
,求直线l的方程;
(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.
①证明:动圆圆心C在一条定直线上运动;
②动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
分析:(1)设过直线l方程:y=k(x+1),根据垂直于弦的直径的性质,结合点到直线的距离公式列式,可解出k的值,从而得到直线l的方程;
(2)①由题意,圆心C到C1、C2两点的距离相等,由此结合两点间的距离公式建立关系式,化简整理得x+y-3=0,即为所求定直线方程;
②根据题意设C(m,3-m),得到圆C方程关于参数m的一般方程形式,由此可得动圆C经过圆x2+y2-6y-2=0与直线x-y+1=0的交点,最后联解方程组,即可得到动圆C经过的定点坐标.
解答:解:(1)设过点C1(-1,0)的直线l方程:y=k(x+1),化成一般式kx-y+k=0
∵直线l被圆C2截得的弦长为
6
5

∴点C2(3,4)到直线l的距离为d=
|3k-4+k|
k2+1
=
1-(
3
5
)2

解之得k=
4
3
3
4

由此可得直线l的方程为:4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.
(2)①设圆心C(x,y),由题意,得CC1=CC2
(x+1)2+y2
=
(x-3)2+(y-4)2

化简整理,得x+y-3=0,
即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.
②设圆C过定点,设C(m,3-m),
则动圆C的半径为
1+CC12
=
1+(m+1)2+(3-m)2

于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2
整理,得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,
x-y+1=0
x2+y2-6y-2=0
x=1+
3
2
2
y=2+
3
2
2
x=1-
3
2
2
y=2-
3
2
2

所以动圆C经过定点,其坐标为(1-
3
2
2
,2-
3
2
2
)
(1+
3
2
2
,2+
3
2
2
)
点评:本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程,并探索动圆圆心在定直线上的问题.考查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,考查学生运算能力.
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3
3
3
3

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[
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2
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