Question

数列{a_n}，已知对任意正整数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n² 等于（ ）
A．（2ⁿ-1）²
B．
C．
D．4ⁿ-1

Answer 1

【答案】分析：首先根据a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，求出a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-1-1，两式相减即可求出数列{a_n}的关系式，然后求出数列{a_n²}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．
解答：解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1…①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-1-1…②，
①-②得a_n=2^n-1，
∴a_n²=2^2n-2，
∴数列{a_n²}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²==，
故选C．
点评：本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{a_n}的通项公式，本题难度一般．