Question

设（2x-1）⁵=a+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，求：
（1）a+a₁+a₂+a₃+a₄；
（2）|a|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|；
（3）a₁+a₃+a₅；
（4）（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²．

Answer 1

【答案】分析：根据所给的二项式的展开式，给x赋值，取x=1和x=-1，后面几个问题都是通过这一个赋值得到结果的．
（1）根据二项式的展开式得到第六项的二项式系数，根据所赋的x=-1的值减去第六项的二项式系数，得到结果．
（2）要求的这几项的绝对值的和，首先去掉绝对值，变化为这六项的二项式系数的和与差形式，看出与x=-1的结果刚好相反，得到结果．
（3）用x=1的值减去x=-1的值，得到啊哟球结果的二倍，等式两边除以2，得到结果．
（4）利用平方差公式，得到两个因式的积的形式，而这两个因式，是我们前面赋值得到的两个式子的积，得到结果．
解答：解：设f（x）=（2x-1）⁵=a+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
则f（1）=a+a₁+a₂+…+a₅=1，
f（-1）=a-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=（-3）⁵=-243．
（1）∵a₅=2⁵=32，
∴a+a₁+a₂+a₃+a₄=f（1）-32=-31．
（2）|a|+|a₁|+|a₂|+…+|a₅|
=-a+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅
=-f（-1）=243．
（3）∵f（1）-f（-1）=2（a₁+a₃+a₅），
∴a₁+a₃+a₅==122．
（4）（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²
=（a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）（a-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅）
=f（1）×f（-1）=-243．
点评：本题考查二项式定理的性质，本题包含这个知识点所有的可能出现的问题，这种问题的解法一般就是赋值，赋值以后灵活变化要求的式子，本题的灵活性比较好．