Question

设关于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R）
（Ⅰ）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先将原方程变为b=4^x-2^x+1，再利用整体思想将2^x看成整体，结合二次函数的性质即可求得实数b的取值范围；
（Ⅱ）对b进行分类讨论：①当b=-1时，②当b＞-1时，分别讨论方程实根的个数，最后综合①、②，得出结论即可．

解答：解：（Ⅰ）原方程为b=4^x-2^x+1，
∵4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
∴当b∈[-1，+∞）时方程有实数解；（4分）
（Ⅱ）①当b=-1时，2^x=1，∴方程有唯一解x=0；（6分）
②当b＞-1时，∵(2x-1)2=1+b?2x=1±

1+b

．
∵2x＞0，1+

1+b

＞0，∴2x=1+

1+b

的解为x=log2(1+

1+b

)；--（8分）
令1-

1+b

＞0?

1+b

＜1?-1＜b＜0，
∴当-1＜b＜0时，2x=1-

1+b

的解为x=log2(1-

1+b

)；--（10分）
综合①、②，得
（1）当-1＜b＜0时原方程有两解：x=log2(1±

1+b

)；
（2）当b≥0或b=-1时，原方程有唯一解x=log2(1+

1+b

)；（12分）

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系、根的存在性及根的个数判断．解答的关键 是利用函数与方程的思想方法．