Question

斜率为k（k＞0）的直线l过定点P（0，m）（m＞0），与抛物线x²=2py（p＞0）交于A，B两点，且A，B两点到y轴距离之差为4k．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若此抛物线焦点为F，且有|AF|+|BF|=4k²+4，试求m的值；
（Ⅲ）过抛物线准线上任意一点Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点，若过定点，求出定点的坐标．

Answer 1

解：（Ⅰ）设AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由，可得x²-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x₁+x₂=2pk，
又依题意有|x₁+x₂|=4k=2pk，
∴p=2．
∴抛物线方程为x²=4y．（4分）
（Ⅱ）∵|AF|+|BF|=y₁+y₂+p
=k（x₁+x₂）+2m+2
=4k²+2m+2
=4k²+4，
∴m=1．（6分）
（Ⅲ）设M，N，Q（x₀，-1），
∵，
∴MQ的方程为，
∴x₁²-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ过Q，∴x₁²-2x₁x₀-4=0，
同理x₂²-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂为方程x²-2x₀x-4=0的两个根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又，
∴MN的方程为
∴，
所以直线MN过点（0，1）．（12分）
分析：（Ⅰ）设AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得x²-2pkx-2pm=0，利用韦达定理能求出p，从而求出抛物线方程．
（Ⅱ）因为|AF|+|BF|=y₁+y₂+p，由此能求出m的值．
（Ⅲ）设M，N，Q（x₀，-1），由，知x₁²-2x₁x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．