【题目】已知过抛物线 的焦点F,斜率为 的直线交抛物线于 两点,且 .
(1)求该抛物线E的方程;
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线 ,分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段 的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.
【答案】
(1)解:抛物线的焦点 ,∴直线AB的方程为:
联立方程组 ,消元得: ,
∴
∴ ,解得 .
∵ ,∴抛物线E的方程为:
(2)解:设C,D两点坐标分别为 ,则点P的坐标为 ..
由题意可设直线 的方程为 .
由 ,得 .
因为直线 与曲线E于C,D两点,所以 .
所以点P的坐标为 .
由题知,直线 的斜率为 ,同理可得点Q的坐标为 .
当 时,有 ,此时直线PQ的斜率 .
所以,直线PQ的方程为 ,整理得 .
于是,直线PQ恒过定点 ;
当 时,直线PQ的方程为 ,也过点 .
综上所述,直线PQ恒过定点 .
【解析】(1)设出直线方程,联立抛物线与直线,得到一元二次方程,利用韦达定理得到坐标间的关系,最后用两点之间的距离公式求得p的值。
(2)设出直线l1和点C,D的坐标,联立直线和抛物线方程,得到点P的坐标,同理求得点Q的坐标,由此得出直线PQ的方程,检验即可发现所过定点。
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【题目】已知 是数列 的前 项和,并且 ,对任意正整数 , ,设 ( ).
(1)证明:数列 是等比数列,并求 的通项公式;
(2)设 ,求证:数列 不可能为等比数列.
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【题目】设x,y满足约束条件 ,若目标函数2z=2x+ny(n>0),z的最大值为2,则y=tan(nx+ )的图象向右平移 后的表达式为( )
A.y=tan(2x+ )
B.y=tan(x﹣ )
C.y=tan(2x﹣ )
D.y=tan2x
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【题目】已知定点 , 为圆 上任意一点,线段 上一点 满足 ,直线 上一点 ,满足 .
(1)当 在圆周上运动时,求点 的轨迹 的方程;
(2)若直线 与曲线 交于 两点,且以 为直径的圆过原点 ,求证:直线 与 不可能相切.
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【题目】(1)等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,求2a9-a10的值;
(2)在等差数列{an}中,a15=8,a60=20,求a75的值.
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