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已知A,B,C是平面上不共线的三点,o为平面ABC内任一点,动点P满足等式且λ≠1,则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心
B.垂心
C.重心
D.外心
【答案】分析:根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则,取AB的中点D,对,进行化简,得到=,根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线,从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
解答:解:取AB的中点D,则 2=

=[(1-λ)(2)+(1+2λ) ]
=

∴P、C、D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
故选C.
点评:本小题主要考查向量在几何中的应用、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A、B、C是平面内不共线的三点,P为平面内的动点,且
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)  (λ>0)
,则P的轨迹过△ABC的(  )
A、重心B、垂心C、内心D、外心

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足
OP
=
1
3
(
1
2
OA
+
1
2
OB
+2
OC
)
,则点P一定为三角形ABC的(  )
A、AB边中线的中点
B、AB边中线的三等分点(非重心)
C、重心
D、AB边的中点

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A,B,C是平面上不共线上三点,O为△ABC外心,动点P满足:
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]
(λ∈R且λ≠0),则P的轨迹一定通过△ABC的(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A,B,C是平面上不共线的三点,o为平面ABC内任一点,动点P满足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R
且λ≠1,则P的轨迹一定通过△ABC的(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知A,B,C是平面内互异的三点,O为平面上任意一点,
OC
=x
OA
+y
OB
,求证:
(1)若A,B,C三点共线,则x+y=1;
(2)若x+y=1,则A,B,C三点共线.

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