Question

若函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（-∞，0）上是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x+1）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（-∞，0）上是增函数，又f（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（-2）=-f（2）=0，
∴当x＞2或-2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜-2或0＜x＜2时，f（x）＜0，（如图）
则不等式xf（x+1）＜0等价为

x＞0 f(x+1)＜0

或

x＜0 f(x+1)＞0

，
即

x＞0 0＜x+1＜2

或

x＜0 -2＜x+1＜0

，
则

x＞0 -1＜x＜1

或

x＜0 -3＜x＜-1

，
解得0＜x＜1或-3＜x＜-1，
故不等式的解集为（0，1）∪（-3，-1），
故答案为：（0，1）∪（-3，-1）

点评：本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．