Question

如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x＝-LB是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

Answer 1

解法一：依题意，记B(－1,b) (b∈R)，则直线OA和OB的方程分别y=0和y=－bx.设点C(x,y)，则有

 0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等根据点到直线的距离公式得｜y｜=   ①

依题设，点C在直线AB上，故有：y=

 由x－a≠0,得b=        ②

 将②式代入①式得：

y²［1+］=［y－ ］²

 整理得：y²［(1－a)x²－2ax+(1+a)y²］=0

若y≠0，则(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)；

若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为(0，0)满足上式

综上得点C的轨迹方程为：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a)

∵ a≠1，

∴             ③

由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段

解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足

(Ⅰ)当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0

 由CE∥BD，得

 ∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD

∴2∠COA=π－∠BOD

 ∵tg(2∠COA)=,

tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,

 

 

 

∴

 整理得：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)

 (Ⅱ)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0，0)，满足上式

综合(Ⅰ)(Ⅱ)，得点C的轨迹方程为(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a)

以下同解法一.