Question

若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=pS_n+r（n∈N^*），p，r∈R，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当p=2，r=0时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数p，r，使得数列{a_n}为等比数列？若存在，求出p，r满足的条件；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为a₁=1，a_n+1=pS_n+r，
当p=2，r=0时，a_n+1=2S_n
所以a₂=2a₁=2，a₃=2S₂=2（a₁+a₂）=2×（1+2）=6，a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃）=2×（1+2+6）=18．
（2）因为a_n+1=pS_n+r，
所以a_n=pS_n-1+r（n≥2），
所以a_n+1-a_n=（pS_n+r）-（pS_n-1+r）=pa_n，
即a_n+1=（p+1）a_n，其中n≥2，
所以若数列{a_n}为等比数列，则公比q=p+1≠0，所以p≠-1，
又a₂=p+r=a₁q=a₁（p+1）=p+1，故r=1．
所以当p≠-1，r=1时，数列{a_n}为等比数列．
分析：（1）将等式中的n分别用2，3，4代替，再利用和与项的关系求出各项．
（2）通过仿写作差得到项的递推关系，若等比，各项非0，公比非0，第一项与第二项必须满足同一的递推关系．
点评：本题考查通过仿写将项与和的递推关系转化为项的递推关系；等比数列的必要条件．