【题目】已知函数, 在和处取得极值,且,曲线在处的切线与直线垂直.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明关于的方程至多只有两个实数根(其中是的导函数, 是自然对数的底数).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求,根据韦达定理及列出关于 的方程组,进而可得结果;(Ⅱ)圆方程等价于,令,研究函数 的单调性,讨论与两种情况分别证明即可.
试题解析:(Ⅰ) ,因为在和处取得极值,
所以和是方程的两个根,则, ,
又,则,所以.
由已知曲线在处的切线与直线垂直,所以可得,
即,由此可得解得
所以
(Ⅱ)对于,
(1)当时,得,方程无实数根;
(2)当时,得,令,
,
当时, ;
当或时, ;当时, .
∴的单调递减区间是和,单调递增区间是,
函数在和处分别取得极小值和极大值.
, ,
对于,由于恒成立,
且是与轴有两个交点、开口向上的抛物线,
所以曲线与轴有且只有两个交点,从而无最大值, .
若时 ,直线与曲线至多有两个交点;
若 ,直线与曲线只有一个交点;
综上所述,无论取何实数,方程至多只有两实数根.
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【题目】已知椭圆的右焦点,椭圆的左,右顶点分别为.过点的直线与椭圆交于两点,且的面积是的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若与轴垂直,是椭圆上位于直线两侧的动点,且满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1 , ACC1A1均为正方形,AB=AC=1,∠BAC=90,点D是棱B1C1的中点.
(1)求证:AB1∥平面A1DC;
(2)求证:A1D⊥平面BB1C1C.
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【题目】某公司2016年前三个月的利润(单位:百万元)如下:
月份 | 1 | 2 | 3 |
利润 | 2 | 3.9 | 5.5 |
(1)求利润关于月份的线性回归方程;
(2)试用(1)中求得的回归方程预测4月和5月的利润;
(3)试用(1)中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万?
相关公式:.
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【题目】已知椭圆过点,顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为,点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)已知点,是椭圆上的两点.
(ⅰ)若,且为等边三角形,求的面积;
(ⅱ)若,证明: 不可能为等边三角形.
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【题目】解答题
(1)在等比数列{an}中,a5=162,公比q=3,前n项和Sn=242,求首项a1和项数n.
(2)有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线: ,曲线: (为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线, 的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线: (为参数, , )分别交, 于, 两点,当取何值时, 取得最大值.
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【题目】已知椭圆,与轴的正半轴交于点,右焦点, 为坐标原点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)已知点,过点任意作直线与椭圆交于两点,设直线的斜率,若,求椭圆的方程.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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