Question

1．对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）•f（a-x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈[0，1]时，f（x）的取值范围为[1，2]，则当x∈[1，2]时，f（x）的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1]，当x∈[-2016，2016]时，f（x）的取值范围为[$\frac{1}{2}$，2]．

Answer 1

分析 根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．

解答 解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，
则f（x）•f（-x）=1，则f（x）≠0，
且f（1+x）•f（1-x）=1，
即f（2+x）•f（-x）=1，
即f（2+x）•f（-x）=1=f（x）•f（-x），
则f（2+x）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
若x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，2-x∈[1，2]，此时1≤f（x）≤2
∵f（x）•f（-x）=1，
∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∵f（-x）=f（2-x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
即一个周期内当x∈[0，2]时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]．
∴当x∈[-2016，2016]时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]，[$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．