Question

【题目】已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性．

Answer 1

【答案】(1)a＝4，b＝4;(2)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；

（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性．

试题解析：

(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8．

从而a＝4，b＝4．

由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·．

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2．

当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0．

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．